Populace vs. standardní směrodatná odchylka
Ve statistice se několik indexů používá k popisu datové sady odpovídající její centrální tendenci, rozptylu a šikmosti. Směrodatná odchylka je jednou z nejběžnějších měřítek rozptylu dat od středu souboru dat.
Z důvodu praktických potíží nebude možné při testování hypotézy využít údaje z celé populace. Proto používáme datové hodnoty ze vzorků k vyvození závěrů o populaci. V takové situaci se jim říká odhady, protože odhadují hodnoty parametrů populace.
Je nesmírně důležité použít v závěrech nezaujaté odhady. Odhaduje se, že je nestranný, pokud se očekávaná hodnota tohoto odhadce rovná parametru populace. Například použijeme průměr vzorku jako nezaujatý odhadce pro průměr populace. (Matematicky lze prokázat, že očekávaná hodnota průměrného vzorku se rovná střednímu počtu obyvatel). V případě odhadu směrodatné odchylky populace je standardní odchylka vzorku také nezaujatým odhadcem.
Co je směrodatná odchylka populace?
Pokud lze vzít v úvahu údaje z celé populace (například v případě sčítání lidu), je možné vypočítat směrodatnou odchylku populace. Pro výpočet směrodatné odchylky populace se nejprve vypočítají odchylky datových hodnot od průměru populace. Kořenová kvadratická střední hodnota odchylek se nazývá standardní odchylka populace.
Ve třídě 10 studentů lze snadno shromažďovat údaje o studentech. Pokud je na této populaci studentů testována hypotéza, není nutné používat hodnoty vzorku. Například hmotnosti 10 studentů (v kilogramech) se měří na 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 a 79. Pak je průměrná hmotnost deseti lidí (v kilogramech) (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, což je 71 (v kilogramech). Toto je průměr populace.
Nyní pro výpočet směrodatné odchylky populace vypočítáme odchylky od průměru. Příslušné odchylky od průměru jsou (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 a (79 - 71) = 8. Součet čtverců odchylky je (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Směrodatná odchylka populace je √ (366/10) = 6,05 (v kilogramech). 71 je přesná střední hmotnost studentů třídy a 6,05 je přesná standardní odchylka hmotnosti od 71.
Co je standardní směrodatná odchylka?
Když se k odhadu parametrů populace použijí data ze vzorku (o velikosti n), vypočítá se směrodatná odchylka vzorku. Nejprve se vypočítají odchylky datových hodnot od střední hodnoty vzorku. Protože se namísto populačního průměru (který není znám) použije průměr vzorku, není použití kvadratického průměru vhodné. Aby se kompenzovalo použití výběrového průměru, vydělí se součet čtverců odchylek (n-1) místo n. Směrodatná odchylka vzorku je druhá odmocnina. V matematických symbolech je S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, kde S je směrodatná odchylka vzorku, ẍ je průměr vzorku a x i jsou datové body.
Nyní předpokládejme, že v předchozím příkladu je populace studenty celé školy. Potom bude třída pouze ukázkou. Pokud se při odhadu použije tento vzorek, bude směrodatná odchylka vzorku √ (366/9) = 6,38 (v kilogramech), protože 366 bylo vyděleno 9 místo 10 (velikost vzorku). Faktem je, že není zaručeno, že se jedná o přesnou hodnotu směrodatné odchylky populace. Je to pouze odhad.
Jaký je rozdíl mezi standardní odchylkou populace a standardní směrodatnou odchylkou?
• Směrodatná odchylka populace je přesná hodnota parametru použitá k měření rozptylu od středu, zatímco standardní směrodatná odchylka vzorku je pro ni nestranný odhad.
• Směrodatná odchylka populace se vypočítá, když jsou známy všechny údaje týkající se každého jednotlivce populace. Jinak se vypočítá směrodatná odchylka vzorku.
• Populační směrodatná odchylka je dána vztahem σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} kde µ je průměr populace a n je velikost populace, ale směrodatná odchylka vzorku je dána S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)}, kde ẍ je průměr vzorku a n je velikost vzorku.
