Rozdíl Mezi Derivací A Diferenciálem

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-16 08:37

Derivát vs. rozdíl

V diferenciálním počtu derivace a derivace funkce úzce souvisí, ale mají velmi odlišné významy a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických objektů souvisejících s diferencovatelnými funkcemi.

Co je to derivát?

Derivace funkce měří rychlost, jakou se hodnota funkce mění při změně jejího vstupu. Ve funkcích s více proměnnými závisí změna hodnoty funkce na směru změny hodnot nezávislých proměnných. Proto je v takových případech zvolen konkrétní směr a funkce je v tomto konkrétním směru diferencována. Tato derivace se nazývá směrová derivace. Parciální derivace jsou speciální druh směrových derivací.

Derivaci funkce s vektorovou hodnotou f lze definovat jako limit,

ať už existuje konečně kdekoli. Jak již bylo zmíněno, dává nám to rychlost nárůstu funkce f ve směru vektoru u. V případě funkce s jednou hodnotou se to redukuje na dobře známou definici derivátu,

Například

je všude diferencovatelné a derivace se rovná limitu

který se rovná

. Deriváty funkcí, jaké

existují, existují všude. Jsou stejné jako funkce

Toto je známé jako první derivát. Obvykle je první derivace funkce f označena f ⁽¹⁾. Nyní pomocí této notace je možné definovat derivace vyššího řádu.

je směrová derivace druhého řádu a označující n- ^tou derivaci f ⁽ⁿ⁾ pro každé n

definuje n- ^tou derivaci.

Co je to diferenciál?

Diferenciál funkce představuje změnu funkce s ohledem na změny nezávislé proměnné nebo proměnných. V obvyklém notaci, pro dané funkce f jedné proměnné x, celkový rozdíl řádu 1 df je dána,

. To znamená, že pro nekonečně malou změnu v x (tj. Dx) dojde ke změně af ⁽¹⁾ (x) dx ve f.

Pomocí limitů lze s touto definicí skončit následovně. Předpokládejme, že ∆ x je změna v x v libovolném bodě x a ∆ f je odpovídající změna ve funkci f. Lze ukázat, že ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Nyní je limit ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (s použitím dříve uvedené definice derivace) a tedy ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Proto je možné k závěru, že ∆ x → 0 ϵ = 0. Nyní, označíme den x → 0 ∆ f jako df a ∆ x → 0 ∆ x jako dx, je důsledně získána definice diferenciálu.

Například rozdíl funkce

je

V případě funkcí dvou nebo více proměnných je celkový rozdíl funkce definován jako součet rozdílů ve směrech každé z nezávislých proměnných. Matematicky to lze konstatovat jako

Jaký je rozdíl mezi derivací a diferenciálem?

• Derivace označuje rychlost změny funkce, zatímco rozdíl se týká skutečné změny funkce, když je nezávislá proměnná vystavena změnám.

• Derivace je dána

ale rozdíl je dán