Derivát vs. rozdíl
V diferenciálním počtu derivace a derivace funkce úzce souvisí, ale mají velmi odlišné významy a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických objektů souvisejících s diferencovatelnými funkcemi.
Co je to derivát?
Derivace funkce měří rychlost, jakou se hodnota funkce mění při změně jejího vstupu. Ve funkcích s více proměnnými závisí změna hodnoty funkce na směru změny hodnot nezávislých proměnných. Proto je v takových případech zvolen konkrétní směr a funkce je v tomto konkrétním směru diferencována. Tato derivace se nazývá směrová derivace. Parciální derivace jsou speciální druh směrových derivací.
Derivaci funkce s vektorovou hodnotou f lze definovat jako limit,
ať už existuje konečně kdekoli. Jak již bylo zmíněno, dává nám to rychlost nárůstu funkce f ve směru vektoru u. V případě funkce s jednou hodnotou se to redukuje na dobře známou definici derivátu,
Například
je všude diferencovatelné a derivace se rovná limitu
který se rovná
. Deriváty funkcí, jaké
existují, existují všude. Jsou stejné jako funkce
Toto je známé jako první derivát. Obvykle je první derivace funkce f označena f (1). Nyní pomocí této notace je možné definovat derivace vyššího řádu.
je směrová derivace druhého řádu a označující n- tou derivaci f (n) pro každé n
definuje n- tou derivaci.
Co je to diferenciál?
Diferenciál funkce představuje změnu funkce s ohledem na změny nezávislé proměnné nebo proměnných. V obvyklém notaci, pro dané funkce f jedné proměnné x, celkový rozdíl řádu 1 df je dána,
. To znamená, že pro nekonečně malou změnu v x (tj. Dx) dojde ke změně af (1) (x) dx ve f.
Pomocí limitů lze s touto definicí skončit následovně. Předpokládejme, že ∆ x je změna v x v libovolném bodě x a ∆ f je odpovídající změna ve funkci f. Lze ukázat, že ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Nyní je limit ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (s použitím dříve uvedené definice derivace) a tedy ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Proto je možné k závěru, že ∆ x → 0 ϵ = 0. Nyní, označíme den x → 0 ∆ f jako df a ∆ x → 0 ∆ x jako dx, je důsledně získána definice diferenciálu.
Například rozdíl funkce
je
V případě funkcí dvou nebo více proměnných je celkový rozdíl funkce definován jako součet rozdílů ve směrech každé z nezávislých proměnných. Matematicky to lze konstatovat jako
Jaký je rozdíl mezi derivací a diferenciálem?
• Derivace označuje rychlost změny funkce, zatímco rozdíl se týká skutečné změny funkce, když je nezávislá proměnná vystavena změnám.
• Derivace je dána
ale rozdíl je dán
