Diferenciace vs. derivace
V diferenciálním počtu jsou derivace a diferenciace úzce spojené, ale velmi odlišné a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických konceptů souvisejících s funkcemi.
Co je to derivát?
Derivace funkce měří rychlost, jakou se hodnota funkce mění při změně jejího vstupu. Ve funkcích s více proměnnými závisí změna hodnoty funkce na směru změny hodnot nezávislých proměnných. Proto je v takových případech zvolen konkrétní směr a funkce je v tomto konkrétním směru diferencována. Tato derivace se nazývá směrová derivace. Parciální derivace jsou speciální druh směrových derivací.
Derivaci funkce s vektorovou hodnotou f lze definovat jako limit,
ať už existuje konečně kdekoli. Jak již bylo zmíněno, dává nám to rychlost nárůstu funkce f ve směru vektoru u. V případě funkce s jednou hodnotou se to redukuje na dobře známou definici derivátu,
Například
je všude diferencovatelné a derivace se rovná limitu
který se rovná
. Deriváty funkcí, jaké
existují, existují všude. Jsou stejné jako funkce
Toto je známé jako první derivát. Obvykle je první derivace funkce f označena f (1). Nyní pomocí této notace je možné definovat derivace vyššího řádu.
je směrová derivace druhého řádu a označující n- tou derivaci f (n) pro každé n
definuje n- tou derivaci.
Co je to diferenciace?
Diferenciace je proces hledání derivace diferencovatelné funkce. D-operátor označený D představuje diferenciaci v některých kontextech. Jestliže x je nezávislá proměnná, pak D ≡ d / dx. D-operátor je lineární operátor, tj. Pro libovolné dvě diferencovatelné funkce f a g a konstantu c platí následující vlastnosti.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Pomocí D-operátoru lze vyjádřit další pravidla spojená s diferenciací následovně. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 a D (mlha) = (D (f) og) D (g).
Například když je F (x) = x 2 sin x diferencováno vzhledem k x pomocí daných pravidel, odpověď bude 2 x sin x + x 2 cos x.
Jaký je rozdíl mezi diferenciací a derivací?
• Derivace označuje rychlost změny funkce
• Diferenciace je proces hledání derivace funkce.
