Rovnoběžník vs. lichoběžník
Rovnoběžník a lichoběžník (nebo lichoběžník) jsou dva konvexní čtyřúhelníky. I když se jedná o čtyřúhelníky, geometrie lichoběžníku se výrazně liší od rovnoběžníků.
Rovnoběžník
Rovnoběžník lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, s protilehlými stranami navzájem rovnoběžnými. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran. Tato paralelní povaha dává paralelogramům mnoho geometrických charakteristik.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. (
)
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, jsou rovnoběžné a stejné délky. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonály se protínají navzájem (AO = OC, BO = OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. Toto se někdy označuje jako paralelogramový zákon a má rozsáhlé aplikace ve fyzice a inženýrství. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat součinem délky jedné strany a výšky protilehlé strany. Plochu rovnoběžníku lze tedy označit jako
Plocha rovnoběžníku = základna × výška = AB × h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí to pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku reprezentovat dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory (
) a (
), je plocha rovnoběžníku dána vztahem
kde α je úhel mezi
a
Následuje několik pokročilých vlastností rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvakrát větší než plocha trojúhelníku vytvořeného libovolnou jeho úhlopříčkou.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu jakoukoli přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace převezme rovnoběžník do jiného rovnoběžníku
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od libovolného vnitřního bodu rovnoběžníku do stran je nezávislý na umístění bodu
Lichoběžník
Lichoběžník (nebo lichoběžník v britské angličtině) je konvexní čtyřúhelník, kde alespoň dvě strany jsou rovnoběžné a nerovné délky. Rovnoběžné strany lichoběžníku jsou známé jako základny a další dvě strany se nazývají nohy.
Následuje hlavní charakteristika lichoběžníků;
• Pokud sousední úhly nejsou na stejné základně lichoběžníku, jedná se o doplňkové úhly. tj. přidávají až 180 ° (
)
• Obě úhlopříčky lichoběžníku se protínají ve stejném poměru (poměr mezi částí úhlopříček je stejný).
• Pokud a a b jsou základny a c, d jsou nohy, jsou délky úhlopříček dány vztahem
a
Plochu lichoběžníku lze vypočítat pomocí následujícího vzorce
Plocha lichoběžníku =
Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a lichoběžníkem (lichoběžník)?
• Rovnoběžník i lichoběžník jsou konvexní čtyřúhelníky.
• V rovnoběžníku jsou obě dvojice protilehlých stran rovnoběžné, zatímco v lichoběžníku je rovnoběžná pouze dvojice.
• Úhlopříčky rovnoběžníku se protínají navzájem (poměr 1: 1), zatímco úhlopříčky lichoběžníku se protínají s konstantním poměrem mezi řezy.
• Plocha rovnoběžníku závisí na výšce a základně, zatímco plocha lichoběžníku závisí na výšce a středním segmentu.
• Dva trojúhelníky tvořené úhlopříčkou v rovnoběžníku jsou vždy shodné, zatímco trojúhelníky lichoběžníku mohou být shodné nebo ne.
