Rovnoběžník vs. čtyřúhelník
Čtyřstěny a rovnoběžníky jsou polygony nalezené v euklidovské geometrii. Rovnoběžník je speciální případ čtyřúhelníku. Čtyřúhelníky mohou být buď rovinné (2D), nebo trojrozměrné, zatímco rovnoběžníky jsou vždy rovinné.
Čtyřúhelník
Čtyřúhelník je mnohoúhelník se čtyřmi stranami. Má čtyři vrcholy a součet vnitřních úhlů je 3600 (2π rad). Čtyřstěny jsou rozděleny do sebeprotínajících se a jednoduchých čtyřstranných kategorií. Samoprotínající se čtyřúhelníky mají dvě nebo více stran protínajících se navzájem a menší geometrické obrazce (například trojúhelníky jsou vytvořeny uvnitř čtyřúhelníku).
Jednoduché čtyřúhelníky se také dělí na konvexní a konkávní čtyřúhelníky. Konkávní čtyřúhelníky mají sousední strany, které uvnitř postavy tvoří reflexní úhly. Jednoduché čtyřúhelníky, které interně nemají reflexní úhly, jsou konvexní čtyřúhelníky. Konvexní čtyřúhelníky mohou mít vždy mozaikování.
Hlavní část geometrie čtyřúhelníků na počátečních úrovních se týká konvexních čtyřúhelníků. Některé čtyřúhelníky nám jsou velmi známé z dob základních škol. Následuje diagram ukazující různé konvexní čtyřúhelníky.
Rovnoběžník
Rovnoběžník lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, s protilehlými stranami navzájem rovnoběžnými. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran. Tato paralelní povaha dává paralelogramům mnoho geometrických charakteristik.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. (
)
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, jsou rovnoběžné a stejné délky. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonály se protínají navzájem (AO = OC, BO = OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. Toto se někdy označuje jako paralelogramový zákon a má rozsáhlé aplikace ve fyzice a inženýrství. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat součinem délky jedné strany a výšky protilehlé strany. Plochu rovnoběžníku lze tedy označit jako
Plocha rovnoběžníku = základna × výška = AB × h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí to pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku reprezentovat dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory (
) a (
), je plocha rovnoběžníku dána vztahem
kde α je úhel mezi
a
Následuje několik pokročilých vlastností rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvakrát větší než plocha trojúhelníku vytvořeného libovolnou jeho úhlopříčkou.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu jakoukoli přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace převezme rovnoběžník do jiného rovnoběžníku
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od libovolného vnitřního bodu rovnoběžníku do stran je nezávislý na umístění bodu
Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a čtyřúhelníkem?
• Čtyřstěny jsou mnohoúhelníky se čtyřmi stranami (někdy nazývané čtyřúhelníky), zatímco rovnoběžník je speciální typ čtyřúhelníku.
• Čtyřstěny mohou mít své strany v různých rovinách (ve 3D prostoru), zatímco všechny strany rovnoběžníku leží ve stejné rovině (rovinné / 2dimenzionální).
• Vnitřní úhly čtyřúhelníku mohou nabývat jakékoli hodnoty (včetně reflexních úhlů), takže přidávají až 3 600. Rovnoběžníky mohou mít jako maximální typ úhlu pouze tupé úhly.
• Čtyři strany čtyřúhelníku mohou mít různou délku, zatímco protilehlé strany rovnoběžníku jsou vždy navzájem rovnoběžné a mají stejnou délku.
• Jakákoli úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky, zatímco trojúhelníky tvořené úhlopříčkou obecného čtyřúhelníku nemusí být nutně shodné.
