Rovnoběžník vs Rhombus
Rovnoběžník a kosočtverec jsou čtyřúhelníky. Geometrie těchto postav byla člověku známa po tisíce let. Tématu se výslovně věnuje kniha „Elementy“, kterou napsal řecký matematik Euclid.
Rovnoběžník
Rovnoběžník lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, s protilehlými stranami navzájem rovnoběžnými. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran. Tato paralelní povaha dává paralelogramům mnoho geometrických charakteristik.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. (
)
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, jsou rovnoběžné a stejné délky. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonály se protínají navzájem (AO = OC, BO = OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. Toto se někdy označuje jako paralelogramový zákon a má rozsáhlé aplikace ve fyzice a inženýrství. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat součinem délky jedné strany a výšky protilehlé strany. Plochu rovnoběžníku lze tedy označit jako
Plocha rovnoběžníku = základna × výška = AB × h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí to pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku reprezentovat dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory (
) a (
), je plocha rovnoběžníku dána vztahem
kde α je úhel mezi
a
Následuje několik pokročilých vlastností rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvakrát větší než plocha trojúhelníku vytvořeného libovolnou jeho úhlopříčkou.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu jakoukoli přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace převezme rovnoběžník do jiného rovnoběžníku
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od libovolného vnitřního bodu rovnoběžníku do stran je nezávislý na umístění bodu
Kosočtverec
Čtyřúhelník se všemi stranami stejné délky je známý jako kosočtverec. To je také pojmenováno jako rovnostranný čtyřúhelník. Má se za to, že má kosočtverečný tvar, podobný tomu v hracích kartách.
Kosočtverec je také zvláštním případem rovnoběžníku. Lze jej považovat za rovnoběžník se všemi čtyřmi stranami rovnými. A kromě vlastností rovnoběžníku má následující speciální vlastnosti.
• Úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu; úhlopříčky jsou kolmé.
• Diagonály rozdělují dva protilehlé vnitřní úhly.
• Alespoň dvě ze sousedních stran mají stejnou délku.
Plochu kosočtverce lze vypočítat stejnou metodou jako rovnoběžník.
Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a kosočtvercem?
• Rovnoběžník a kosočtverec jsou čtyřúhelníky. Kosočtverec je zvláštní případ paralelogramů.
• Plochu libovolného lze vypočítat pomocí vzorce základna × výška.
• S ohledem na úhlopříčky;
- Úhlopříčky rovnoběžníku se rozdělí na dvě části a rozdělí na rovnoběžník tak, aby vytvořily dva shodné trojúhelníky.
- Úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu a vytvořené trojúhelníky jsou rovnostranné.
• S ohledem na vnitřní úhly;
- Protilehlé vnitřní úhly rovnoběžníku mají stejnou velikost. Dva sousední vnitřní úhly jsou doplňkové.
- Vnitřní úhly kosočtverce jsou rozděleny úhlopříčkami.
• S ohledem na strany;
- V rovnoběžníku se součet čtverců stran rovná součtu čtverců úhlopříčky (zákon rovnoběžníku).
- Jelikož jsou všechny čtyři strany v kosočtverci stejné, čtyřnásobek čtverce strany se rovná součtu čtverců úhlopříčky.
