Rovnoběžník vs Obdélník
Rovnoběžník a obdélník jsou čtyřúhelníky. Geometrie těchto postav byla člověku známa po tisíce let. Tématu se výslovně věnuje kniha „Elementy“, kterou napsal řecký matematik Euclid.
Rovnoběžník
Rovnoběžník lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, s protilehlými stranami navzájem rovnoběžnými. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry paralelních stran. Tato paralelní povaha dává paralelogramům mnoho geometrických charakteristik.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB = DC, AD = BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. (
)
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, jsou rovnoběžné a stejné délky. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonály se protínají navzájem (AO = OC, BO = OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. Toto se někdy označuje jako paralelogramový zákon a má rozsáhlé aplikace ve fyzice a inženýrství. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat součinem délky jedné strany a výšky protilehlé strany. Plochu rovnoběžníku lze tedy označit jako
Plocha rovnoběžníku = základna × výška = AB × h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí to pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku reprezentovat dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory (
) a (
), je plocha rovnoběžníku dána vztahem
kde α je úhel mezi
a
Následuje několik pokročilých vlastností rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvakrát větší než plocha trojúhelníku vytvořeného libovolnou jeho úhlopříčkou.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu jakoukoli přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace převezme rovnoběžník do jiného rovnoběžníku
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od libovolného vnitřního bodu rovnoběžníku do stran je nezávislý na umístění bodu
Obdélník
Čtyřúhelník se čtyřmi pravými úhly je známý jako obdélník. Jedná se o speciální případ rovnoběžníku, kde úhly mezi dvěma sousedními stranami jsou pravé úhly.
Kromě všech vlastností rovnoběžníku lze při zvažování geometrie obdélníku rozpoznat další vlastnosti.
• Každý úhel ve vrcholech je pravý úhel.
• Úhlopříčky mají stejnou délku a protínají se navzájem. Proto mají půlené části stejnou délku.
• Délka úhlopříček může být vypočítána pomocí Pythagorovy věty:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Plošný vzorec se zmenší na součin délky a šířky.
Plocha obdélníku = délka × šířka
• Mnoho obdélníkových vlastností se nachází na obdélníku, například;
- Obdélník je cyklický, kde lze všechny vrcholy umístit na obvod kruhu.
- Je rovnoramenný, kde jsou všechny úhly stejné.
- Je izogonický, kde všechny rohy leží na stejné oběžné dráze symetrie.
- Má reflexní a rotační symetrii.
Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a obdélníkem?
• Rovnoběžník a obdélník jsou čtyřúhelníky. Obdélník je speciální případ rovnoběžníků.
• Plochu libovolného lze vypočítat pomocí vzorce základna × výška.
• S ohledem na úhlopříčky;
- Úhlopříčky rovnoběžníku se rozdělí na dvě části a rozdělí na rovnoběžník tak, aby vytvořily dva shodné trojúhelníky.
- Úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a rozdělují se navzájem; půlené části mají stejnou délku. Úhlopříčky rozdělují obdélník na dva shodné pravé trojúhelníky.
• S ohledem na vnitřní úhly;
- Protilehlé vnitřní úhly rovnoběžníku mají stejnou velikost. Dva sousední vnitřní úhly jsou doplňkové
- Všechny čtyři vnitřní úhly obdélníku jsou pravé úhly.
• S ohledem na strany;
- V rovnoběžníku se součet čtverců stran rovná součtu čtverců úhlopříčky (zákon rovnoběžníku)
- V obdélnících se součet čtverců obou sousedních stran rovná čtverci úhlopříčky na koncích. (Pythagorovo pravidlo)
