Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integrace je hlavním tématem v počtu. Ve větším smyslu lze na integraci pohlížet jako na opačný proces diferenciace. Při modelování problémů v reálném světě je snadné psát výrazy zahrnující derivace. V takové situaci je k nalezení funkce, která poskytla konkrétní derivaci, nutná integrační operace.
Z jiného úhlu je integrace proces, který shrnuje součin funkce ƒ (x) a δx, kde δx bývá určitou hranicí. Z tohoto důvodu používáme integrační symbol jako ∫. Symbol ∫ je ve skutečnosti to, co získáme roztažením písmen s, abychom odkazovali na součet.
Riemann Integral
Uvažujme funkci y = ƒ (x). Integrál y mezi a a b, kde a a b patří do množiny x, se píše jako b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Tomu se říká určitý integrál jednohodnotové a spojité funkce y = ƒ (x) mezi a a b. To dává plochu pod křivkou mezi a a b. Tomu se také říká Riemannův integrál. Riemannův integrál vytvořil Bernhard Riemann. Riemannův integrál spojité funkce je založen na Jordanově míře, proto je také definován jako limit Riemannova součtu funkce. Pro funkci se skutečnou hodnotou definovanou v uzavřeném intervalu je Riemannův integrál funkce s ohledem na oddíl x 1, x 2,…, x ndefinované na intervalu [a, b] a t 1, t 2,…, t n, kde x i ≤ t i ≤ x i + 1 pro každé i ε {1, 2,…, n}, je definována Riemannova suma jako Σ i = o až n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue je další typ integrálu, který pokrývá širokou škálu případů než Riemannův integrál. Integrál lebesgue představil Henri Lebesgue v roce 1902. Legesgueovu integraci lze považovat za zobecnění Riemannovy integrace.
Proč musíme studovat další integrál?
Uvažujme charakteristickou funkci ƒ A (x) = { 0 if, x ne ε A 1 if, x ε A na množině A. Potom konečná lineární kombinace charakteristických funkcí, která je definována jako F (x) = Σ a i ƒ E i (x) se nazývá jednoduchá funkce, pokud je E i měřitelné pro každé i. Lebesgueův integrál F (x) nad E je označen E ∫ ƒ (x) dx. Funkce F (x) není Riemannově integrovatelná. Proto je Lebesgueův integrál přeformulovat Riemannův integrál, který má určitá omezení týkající se funkcí, které mají být integrovány.
Jaký je rozdíl mezi Riemann Integral a Lebesgue Integral?
· Lebesgueův integrál je zobecňující formou Riemannova integrálu.
· Lebesgueův integrál umožňuje spočítatelné nekonečno diskontinuit, zatímco Riemannův integrál umožňuje konečný počet diskontinuit.
