Vzájemně exkluzivní vs nezávislé události
Lidé si často pletou pojem vzájemně se vylučujících událostí s událostmi nezávislými. Ve skutečnosti jde o dvě různé věci.
Nechť A a B jsou libovolné dvě události spojené s náhodným experimentem E. P (A) se nazývá „Pravděpodobnost A“. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost B jako P (B), pravděpodobnost A nebo B jako P (A∪B) a pravděpodobnost A a B jako P (A∩B). Poté P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Dvě události se však vzájemně vylučují, pokud výskyt jedné události neovlivní druhou. Jinými slovy, nemohou nastat současně. Pokud se tedy dvě události A a B vzájemně vylučují, pak A∩B = ∅, a tedy, z čehož vyplývá P (A∪B) = P (A) + P (B).
Nechť A a B jsou dvě události ve vzorovém prostoru S. Podmíněná pravděpodobnost A, vzhledem k tomu, že došlo k B, je označena P (A | B) a je definována jako; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), za předpokladu, že P (B)> 0. (jinak to není definováno.)
O události A se říká, že je nezávislá na události B, pokud pravděpodobnost výskytu A není ovlivněna tím, zda k B došlo, či nikoli. Jinými slovy, výsledek události B nemá žádný vliv na výsledek události A. Proto P (A | B) = P (A). Podobně je B nezávislé na A, pokud P (B) = P (B | A). Můžeme tedy dojít k závěru, že pokud jsou A a B nezávislé události, pak P (A∩B) = P (A). P (B)
Předpokládejme, že je hodena očíslovaná kostka a je hodena spravedlivá mince. Nechť A je událost, která získá hlavu, a B je událost, která hodí sudé číslo. Potom můžeme dojít k závěru, že události A a B jsou nezávislé, protože výsledek jednoho neovlivňuje výsledek druhého. Proto P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Protože P (A∩B) ≠ 0, A a B se nemohou vzájemně vylučovat.
Předpokládejme, že urna obsahuje 7 bílých kuliček a 8 černých kuliček. Definujte událost A jako kresbu bílého mramoru a událost B jako kresbu černého mramoru. Za předpokladu, že každý mramor bude nahrazen po zaznamenání jeho barvy, pak P (A) a P (B) budou vždy stejné, bez ohledu na to, kolikrát čerpáme z urny. Nahrazení kuliček znamená, že se pravděpodobnosti nezmění z losování na losování, bez ohledu na to, jakou barvu jsme vybrali při posledním losování. Události A a B jsou proto nezávislé.
Pokud však byly kuličky kresleny bez náhrady, vše se změní. Za tohoto předpokladu nejsou události A a B nezávislé. První nakreslení bílého mramoru změní pravděpodobnost nakreslení černého mramoru při druhém nakreslení atd. Jinými slovy, každý tah má vliv na další tah, takže jednotlivé tahy nejsou nezávislé.
Rozdíl mezi vzájemně se vylučujícími a nezávislými událostmi
- Vzájemná exkluzivita událostí znamená, že nedochází k překrývání mezi množinami A a B. Nezávislost událostí znamená, že událost A neovlivní událost B.
- Pokud se dvě události A a B vzájemně vylučují, pak P (A∩B) = 0.
- Pokud jsou dvě události nezávislé na A a B, pak P (A∩B) = P (A). P (B)
