Logaritmický vs exponenciální | Exponenciální funkce vs logaritmická funkce
Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které jsou široce používány téměř ve všech podpolech matematiky. Jak jejich názvy napovídají, exponenciální funkce i logaritmická funkce jsou dvě speciální funkce.
Funkce je vztah mezi dvěma sadami definovanými takovým způsobem, že pro každý prvek v první sadě je hodnota, která jí odpovídá v druhé sadě, jedinečná. Nechť ƒ je funkce definovaná z množiny A do množiny B. Potom pro každé x ϵ A symbol ƒ (x) označuje jedinečnou hodnotu v množině B, která odpovídá x. Říká se tomu obraz x pod ƒ. Proto je relace ƒ z A do B funkcí, jestliže a jen tehdy, když pro každé x ϵ A a y ϵ A platí, když x = y, pak ƒ (x) = ƒ (y). Sada A se nazývá doména funkce ƒ a je to sada, ve které je funkce definována.
Co je to exponenciální funkce?
Exponenciální funkce je funkce daná ƒ (x) = e x, kde e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2,718…) a je transcendentální iracionální číslo. Jednou ze specialit funkce je to, že derivace funkce se rovná sobě; tj. když y = e x, dy / dx = e x. Funkce je také všude kontinuální rostoucí funkce mající osu x jako asymptotu. Proto je funkce také jedna k jedné. Pro každé x ϵ R máme e x > 0 a lze ukázat, že je na R +. Sleduje také základní identitu e x + y = e x.e y a e 0= 1. Funkce může být také reprezentována pomocí sériového rozšíření daného 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! + … + x n / n! +…
Co je to logaritmická funkce?
Logaritmická funkce je inverzní funkcí exponenciální. Protože exponenciální funkce je jedna k jedné a na R + lze definovat funkci g ze sady kladných reálných čísel do sady reálných čísel daných g (y) = x, právě když y = e x. Tato funkce g se nazývá logaritmická funkce nebo nejčastěji jako přirozený logaritmus. Označuje se g (x) = log e x = ln x. Jelikož se jedná o inverzní funkci exponenciální, vezmeme-li odraz grafu exponenciální funkce přes čáru y = x, pak budeme mít graf logaritmické funkce. Funkce je tedy asymptotická k ose y.
Logaritmická funkce se řídí některými základními pravidly, z nichž nejdůležitější jsou ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y a ln xy = y ln x. To je také rostoucí funkce a je nepřetržitá všude. Proto je také individuální. Je možné ukázat, že je na R.
Jaký je rozdíl mezi exponenciální funkcí a logaritmickou funkcí?
• Exponenciální funkce je dána funkcí ƒ (x) = e x, zatímco logaritmická funkce je dána funkcí g (x) = ln x, přičemž první je inverzní funkcí druhého.
• Doménou exponenciální funkce je sada reálných čísel, ale doménou logaritmické funkce je sada kladných reálných čísel.
• Rozsah exponenciální funkce je množina kladných reálných čísel, ale rozsah logaritmické funkce je množina reálných čísel.
