Rozdíl Mezi Integrací A Sumací

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-16 08:37

Integrace vs součet

V matematice na střední škole se integrace a sumace často nacházejí v matematických operacích. Zdánlivě se používají jako různé nástroje a v různých situacích, ale sdílejí velmi blízký vztah.

Více o Summation

Součet je operace přidání sekvence čísel a operace je často označována řeckým písmenem velkého sigma Σ. Používá se ke zkrácení součtu a rovná se součtu / součtu sekvence. Často se používají k reprezentaci řady, což jsou v podstatě nekonečné sekvence shrnuté. Mohou být také použity k označení součtu vektorů, matic nebo polynomů.

Součet se obvykle provádí pro rozsah hodnot, které lze vyjádřit obecným výrazem, například řadou, která má společný výraz. Počáteční bod a koncový bod součtu jsou známé jako dolní a horní mez součtu.

Například součet posloupnosti a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n je ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, které lze snadno vyjádřit pomocí součtové notace jako ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i se nazývá index součtu.

Pro součet podle aplikace se používá mnoho variant. V některých případech lze horní a dolní mez uvést jako interval nebo rozsah, například ∑ _1≤i≤100 a _i a ∑ _{i∈ [1 100]} a _i. Nebo to může být dáno jako množina čísel jako ∑ _i∈P a _i, kde P je definovaná množina.

V některých případech lze použít dva nebo více sigma znaků, ale lze je zobecnit následovně; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Součet také dodržuje mnoho algebraických pravidel. Vzhledem k tomu, že vložená operace je sčítáním, lze mnoho běžných pravidel algebry použít na samotné součty a pro jednotlivé výrazy zobrazené součtem.

Více o integraci

Integrace je definována jako obrácený proces diferenciace. Ale v jeho geometrickém pohledu to lze také považovat za oblast ohraničenou křivkou funkce a osy. Proto výpočet plochy dává hodnotu určitého integrálu, jak je znázorněno na obrázku.

Zdroj obrázku:

Hodnota určitého integrálu je ve skutečnosti součtem malých proužků uvnitř křivky a osy. Plocha každého pásu je výška × šířka v bodě na uvažované ose. Šířka je hodnota, kterou si můžeme vybrat, řekněme ∆x. A výška je přibližně hodnota funkce v uvažovaném bodě, řekněme f (x _i). Z diagramu je zřejmé, že čím menší jsou proužky, tím lépe se proužky vejdou do ohraničené oblasti, a tudíž lepší aproximace hodnoty.

Obecně tedy určitý integrál I mezi body a a b (tj. V intervalu [a, b], kde a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kde n je počet proužků (n = (ba) / ∆x). Tento součet plochy lze snadno reprezentovat pomocí součtové notace jako I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Protože aproximace je lepší, když je ∆x menší, můžeme vypočítat hodnotu, když ∆x → 0. Proto je rozumné říci I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Jako zobecnění z výše uvedeného konceptu můžeme zvolit ∆x na základě uvažovaného intervalu indexovaného pomocí i (výběr šířky oblasti na základě polohy). Pak máme

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Toto je známé jako Reimannův integrál funkce f (x) v intervalu [a, b]. V tomto případě jsou a a b známé jako horní mez a dolní mez integrálu. Reimannův integrál je základní formou všech integračních metod.

V podstatě je integrace součtem oblasti, když je šířka obdélníku nekonečně malá.

Jaký je rozdíl mezi integrací a sumací?

• Součet spočítává posloupnost čísel. Součet je obvykle uveden v tomto tvaru ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, když členy v posloupnosti mají vzor a lze je vyjádřit pomocí obecného výrazu.

• Integrace je v podstatě oblast ohraničená křivkou funkce, osou a horním a dolním limitem. Tato oblast může být dána jako součet mnohem menších oblastí zahrnutých do ohraničené oblasti.

• Součet zahrnuje diskrétní hodnoty s horní a dolní hranicí, zatímco integrace zahrnuje spojité hodnoty.

• Integraci lze interpretovat jako speciální formu součtu.

• V numerických výpočtových metodách se integrace vždy provádí jako součet.