Integrace vs součet
V matematice na střední škole se integrace a sumace často nacházejí v matematických operacích. Zdánlivě se používají jako různé nástroje a v různých situacích, ale sdílejí velmi blízký vztah.
Více o Summation
Součet je operace přidání sekvence čísel a operace je často označována řeckým písmenem velkého sigma Σ. Používá se ke zkrácení součtu a rovná se součtu / součtu sekvence. Často se používají k reprezentaci řady, což jsou v podstatě nekonečné sekvence shrnuté. Mohou být také použity k označení součtu vektorů, matic nebo polynomů.
Součet se obvykle provádí pro rozsah hodnot, které lze vyjádřit obecným výrazem, například řadou, která má společný výraz. Počáteční bod a koncový bod součtu jsou známé jako dolní a horní mez součtu.
Například součet posloupnosti a 1, a 2, a 3, a 4,…, a n je 1 + a 2 + a 3 +… + a n, které lze snadno vyjádřit pomocí součtové notace jako ∑ n i = 1 a i; i se nazývá index součtu.
Pro součet podle aplikace se používá mnoho variant. V některých případech lze horní a dolní mez uvést jako interval nebo rozsah, například ∑ 1≤i≤100 a i a ∑ i∈ [1 100] a i. Nebo to může být dáno jako množina čísel jako ∑ i∈P a i, kde P je definovaná množina.
V některých případech lze použít dva nebo více sigma znaků, ale lze je zobecnit následovně; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Součet také dodržuje mnoho algebraických pravidel. Vzhledem k tomu, že vložená operace je sčítáním, lze mnoho běžných pravidel algebry použít na samotné součty a pro jednotlivé výrazy zobrazené součtem.
Více o integraci
Integrace je definována jako obrácený proces diferenciace. Ale v jeho geometrickém pohledu to lze také považovat za oblast ohraničenou křivkou funkce a osy. Proto výpočet plochy dává hodnotu určitého integrálu, jak je znázorněno na obrázku.
Zdroj obrázku:
Hodnota určitého integrálu je ve skutečnosti součtem malých proužků uvnitř křivky a osy. Plocha každého pásu je výška × šířka v bodě na uvažované ose. Šířka je hodnota, kterou si můžeme vybrat, řekněme ∆x. A výška je přibližně hodnota funkce v uvažovaném bodě, řekněme f (x i). Z diagramu je zřejmé, že čím menší jsou proužky, tím lépe se proužky vejdou do ohraničené oblasti, a tudíž lepší aproximace hodnoty.
Obecně tedy určitý integrál I mezi body a a b (tj. V intervalu [a, b], kde a
Jako zobecnění z výše uvedeného konceptu můžeme zvolit ∆x na základě uvažovaného intervalu indexovaného pomocí i (výběr šířky oblasti na základě polohy). Pak máme
I = lim ∆x → 0 ∑ n i = 1 f (x i) ∆x i = a ∫ b f (x) dx
Toto je známé jako Reimannův integrál funkce f (x) v intervalu [a, b]. V tomto případě jsou a a b známé jako horní mez a dolní mez integrálu. Reimannův integrál je základní formou všech integračních metod.
V podstatě je integrace součtem oblasti, když je šířka obdélníku nekonečně malá.
Jaký je rozdíl mezi integrací a sumací?
• Součet spočítává posloupnost čísel. Součet je obvykle uveden v tomto tvaru ∑ n i = 1 a i, když členy v posloupnosti mají vzor a lze je vyjádřit pomocí obecného výrazu.
• Integrace je v podstatě oblast ohraničená křivkou funkce, osou a horním a dolním limitem. Tato oblast může být dána jako součet mnohem menších oblastí zahrnutých do ohraničené oblasti.
• Součet zahrnuje diskrétní hodnoty s horní a dolní hranicí, zatímco integrace zahrnuje spojité hodnoty.
• Integraci lze interpretovat jako speciální formu součtu.
• V numerických výpočtových metodách se integrace vždy provádí jako součet.
