Asociativní vs komutativní
V každodenním životě musíme používat čísla, kdykoli potřebujeme něco měřit. V obchodě s potravinami, na čerpací stanici a dokonce i v kuchyni musíme sčítat, odečítat a vynásobit dvě nebo více množství. Z naší praxe provádíme tyto výpočty zcela bez námahy. Nikdy si nevšimneme a nezpochybňujeme, proč tyto operace provádíme tímto konkrétním způsobem. Nebo proč tyto výpočty nelze provést jiným způsobem. Odpověď je skrytá ve způsobu, jakým jsou tyto operace definovány v matematickém poli algebry.
V algebře je operace zahrnující dvě veličiny (například sčítání) definována jako binární operace. Přesněji se jedná o operaci mezi dvěma prvky ze sady a tyto prvky se nazývají „operand“. Mnoho operací v matematice, včetně aritmetických operací zmíněných dříve a těch, které se vyskytly v teorii množin, lineární algebře a matematické logice, lze definovat jako binární operace.
Existuje sada řídících pravidel týkajících se konkrétní binární operace. Asociativní a komutativní vlastnosti jsou dvě základní vlastnosti binárních operací.
Více informací o komutativním vlastnictví
Předpokládejme, že na prvcích A a B je provedena nějaká binární operace označená symbolem ⊗. Pokud pořadí operandů neovlivňuje výsledek operace, je operace považována za komutativní. tj. pokud A ⊗ B = B ⊗ A, pak je operace komutativní.
Sčítání a násobení aritmetických operací je komutativní. Pořadí čísel sčítaných nebo vynásobených nemá vliv na konečnou odpověď:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Ale v případě dělení změna v pořadí dává převrácenou hodnotu druhého a při odečtení změna dává zápornou hodnotu druhého. Proto, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 a 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 a 5 ÷ 4 = 1,25 [v tomto případě A, B ≠ 1 a 0]
Ve skutečnosti se říká, že odčítání je antikomutativní; kde A - B = - (B - A).
Logické spojky, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence jsou také komutativní. Pravdivé funkce jsou také komutativní. Sjednocené operace a křižovatka jsou komutativní. Sčítání a skalární součin vektorů jsou také komutativní.
Ale vektorový odčítání a vektorový produkt není komutativní (vektorový produkt dvou vektorů je anti-komutativní). Sčítání matice je komutativní, ale násobení a odčítání nejsou komutativní. (Násobení dvou matic může být ve zvláštních případech komutativní, jako je například násobení matice s její inverzní funkcí nebo matice identity; ale rozhodně matice nejsou komutativní, pokud matice nemají stejnou velikost)
Více o asociativním vlastnictví
O binární operaci se říká, že je asociativní, pokud pořadí provádění neovlivní výsledek, když jsou přítomny dva nebo více výskytů operátoru. Zvažte prvky A, B a C a binární operaci ⊗. O operaci ⊗ se říká, že je asociativní, pokud
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Ze základních aritmetických funkcí jsou asociativní pouze sčítání a násobení.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Odečtení a rozdělení nejsou asociativní;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 a (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 a (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Logické spojky disjunkce, konjunkce a ekvivalence jsou asociativní, stejně jako sjednocené operace sjednocení a průnik. Matice a sčítání vektorů jsou asociativní. Skalární produkt vektorů je asociativní, ale vektorový produkt není. Násobení matic je asociativní pouze za zvláštních okolností.
Jaký je rozdíl mezi komutativním a asociativním majetkem?
• Asociativní vlastnost i komutativní vlastnost jsou speciální vlastnosti binárních operací a některé je uspokojují a jiné nikoli.
• Tyto vlastnosti lze vidět v mnoha formách algebraických operací a dalších binárních operacích v matematice, jako je průnik a sjednocení v teorii množin nebo logické spojky.
• Rozdíl mezi komutativní a asociativní spočívá v tom, že komutativní vlastnost uvádí, že pořadí prvků nemění konečný výsledek, zatímco asociativní vlastnost uvádí, že pořadí, ve kterém se operace provádí, nemá na konečnou odpověď vliv.