Náhodné proměnné vs rozdělení pravděpodobnosti
Statistické experimenty jsou náhodné experimenty, které lze opakovat donekonečna se známou sadou výsledků. S takovými experimenty jsou spojeny jak náhodné proměnné, tak rozdělení pravděpodobnosti. Pro každou náhodnou proměnnou existuje přidružené rozdělení pravděpodobnosti definované funkcí zvanou kumulativní distribuční funkce.
Co je náhodná proměnná?
Náhodná proměnná je funkce, která přiřadí číselné hodnoty výsledkům statistického experimentu. Jinými slovy, je to funkce definovaná ze vzorového prostoru statistického experimentu do množiny reálných čísel.
Zvažte například náhodný experiment převrácení mince dvakrát. Možné výsledky jsou HH, HT, TH a TT (H - hlavy, T - příběhy). Nechť proměnná X je počet hlav pozorovaných v experimentu. Potom může X nabývat hodnot 0, 1 nebo 2 a je to náhodná proměnná. Zde náhodná proměnná X namapuje množinu S = {HH, HT, TH, TT} (ukázkový prostor) na množinu {0, 1, 2} takovým způsobem, že HH je namapována na 2, HT a TH jsou mapovány na 1 a TT je mapováno na 0. V notaci funkce to lze zapsat jako, X: S → R, kde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 a X (TT) = 0.
Existují dva typy náhodných proměnných: diskrétní a spojité, podle toho je počet možných hodnot, které náhodná proměnná může předpokládat, nanejvýš spočetný nebo ne. V předchozím příkladu je náhodná proměnná X diskrétní náhodná proměnná, protože {0, 1, 2} je konečná množina. Nyní zvažte statistický experiment zjišťování vah studentů ve třídě. Nechť Y je náhodná proměnná definovaná jako váha studenta. Y může nabrat jakoukoli skutečnou hodnotu v určitém intervalu. Y je tedy spojitá náhodná proměnná.
Co je rozdělení pravděpodobnosti?
Distribuce pravděpodobnosti je funkce, která popisuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabere určité hodnoty.
Funkce zvaná kumulativní distribuční funkce (F) může být definována ze sady reálných čísel do sady reálných čísel jako F (x) = P (X ≤ x) (pravděpodobnost, že X bude menší nebo rovno x) pro každý možný výsledek x. Nyní lze kumulativní distribuční funkci X v prvním příkladu zapsat jako F (a) = 0, pokud a <0; F (a) = 0,25, pokud 0≤a <1; F (a) = 0,75, pokud 1≤a <2 a F (a) = 1, pokud a≥2.
V případě diskrétních náhodných proměnných lze definovat funkci z množiny možných výsledků do množiny reálných čísel takovým způsobem, že ƒ (x) = P (X = x) (pravděpodobnost, že X bude rovno x) pro každý možný výsledek x. Tato konkrétní funkce ƒ se nazývá funkce pravděpodobnostní hmotnosti náhodné proměnné X. Nyní lze funkci pravděpodobnostní hmotnosti X v prvním konkrétním příkladu zapsat jako ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 a ƒ (x) = 0 jinak. Funkce pravděpodobnostní hmotnosti spolu s funkcí kumulativního rozdělení tedy popíše rozdělení pravděpodobnosti X v prvním příkladu.
V případě spojitých náhodných proměnných lze funkci zvanou funkce hustoty pravděpodobnosti (ƒ) definovat jako ƒ (x) = dF (x) / dx pro každé x, kde F je kumulativní distribuční funkce spojité náhodné proměnné. Je snadné vidět, že tato funkce splňuje ∫ƒ (x) dx = 1. Funkce hustoty pravděpodobnosti spolu s funkcí kumulativního rozdělení popisuje rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné. Například normální rozdělení (což je spojité rozdělení pravděpodobnosti) je popsáno pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Jaký je rozdíl mezi náhodnými proměnnými a rozdělením pravděpodobnosti?
• Náhodná proměnná je funkce, která spojuje hodnoty vzorového prostoru se skutečným číslem.
• Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která přiřazuje hodnoty, které náhodná proměnná může nabrat, k příslušné pravděpodobnosti výskytu.
