Funkce rozdělení pravděpodobnosti vs. funkce hustoty pravděpodobnosti
Pravděpodobnost je pravděpodobnost, že se událost stane. Tato myšlenka je velmi běžná a často se používá v každodenním životě, když hodnotíme naše příležitosti, transakce a mnoho dalších věcí. Rozšířit tento jednoduchý koncept na větší soubor událostí je trochu náročnější. Například nemůžeme snadno zjistit šanci na výhru v loterii, ale je pohodlné, spíše intuitivní říci, že existuje pravděpodobnost, že jeden ze šesti dostane číslo šest do hodu kostkou.
Když se počet událostí, které se mohou uskutečnit, zvětšuje nebo se zvyšuje počet jednotlivých možností, selhává tato poměrně jednoduchá představa o pravděpodobnosti. Proto musí být dána solidní matematická definice, než bude možné přistupovat k problémům s vyšší složitostí.
Když je počet událostí, které se mohou v jedné situaci uskutečnit, velký, je nemožné považovat každou událost jednotlivě, jako v příkladu hozených kostek. Celá sada událostí je tedy shrnuta zavedením konceptu náhodné proměnné. Jedná se o proměnnou, která může převzít hodnoty různých událostí v konkrétní situaci (nebo v ukázkovém prostoru). Dává matematický smysl jednoduchým událostem v situaci a matematický způsob řešení události. Přesněji řečeno, náhodná proměnná je funkcí skutečné hodnoty nad prvky vzorového prostoru. Náhodné proměnné mohou být buď diskrétní, nebo spojité. Obvykle se označují velkými písmeny anglické abecedy.
Funkce rozdělení pravděpodobnosti (nebo jednoduše rozdělení pravděpodobnosti) je funkce, která přiřazuje hodnoty pravděpodobnosti každé události; tj. poskytuje vztah k pravděpodobnostem hodnot, které může náhodná proměnná nabrat. Funkce rozdělení pravděpodobnosti je definována pro diskrétní náhodné proměnné.
Funkce hustoty pravděpodobnosti je ekvivalentem funkce rozdělení pravděpodobnosti pro spojité náhodné proměnné, udává pravděpodobnost, že určitá náhodná proměnná zaujme určitou hodnotu.
Pokud X je diskrétní náhodná proměnná, funkce uvedená jako f (x) = P (X = x) pro každé x v rozsahu X se nazývá funkce rozdělení pravděpodobnosti. Funkce může sloužit jako funkce rozdělení pravděpodobnosti právě tehdy, pokud splňuje následující podmínky.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkce f (x), která je definována nad množinou reálných čísel, se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné X, právě když,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx pro jakékoli reálné konstanty a a b.
Funkce hustoty pravděpodobnosti by měla splňovat také následující podmínky.
1. f (x) ≥ 0 pro všechna x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Funkce rozdělení pravděpodobnosti i funkce hustoty pravděpodobnosti se používají k vyjádření rozdělení pravděpodobností v prostoru vzorku. Obvykle se tomu říká rozdělení pravděpodobnosti.
Pro statistické modelování jsou odvozeny standardní funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce rozdělení pravděpodobnosti. Normální rozdělení a standardní normální rozdělení jsou příklady spojitého rozdělení pravděpodobnosti. Binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení jsou příklady diskrétních rozdělení pravděpodobnosti.
Jaký je rozdíl mezi rozdělením pravděpodobnosti a hustotou pravděpodobnosti?
• Funkce rozdělení pravděpodobnosti a funkce hustoty pravděpodobnosti jsou funkce definované v prostoru vzorku, které každému prvku přiřadí příslušnou hodnotu pravděpodobnosti.
• Funkce rozdělení pravděpodobnosti jsou definovány pro diskrétní náhodné proměnné, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti jsou definovány pro spojité náhodné proměnné.
• Rozdělení hodnot pravděpodobnosti (tj. Rozdělení pravděpodobnosti) je nejlépe vykreslit funkcí hustoty pravděpodobnosti a funkcí rozdělení pravděpodobnosti.
• Funkci rozdělení pravděpodobnosti lze reprezentovat jako hodnoty v tabulce, ale to pro funkci hustoty pravděpodobnosti není možné, protože proměnná je spojitá.
• Při vykreslení dává funkce rozdělení pravděpodobnosti sloupcový graf, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti dává křivku.
• Výška / délka sloupců funkce rozdělení pravděpodobnosti musí být přidána k 1, zatímco plocha pod křivkou funkce hustoty pravděpodobnosti musí být přidána k 1.
• V obou případech musí být všechny hodnoty funkce nezáporné.
