Diskrétní funkce vs. spojitá funkce
Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které se hojně používají téměř ve všech dílčích oborech matematiky. Jak jejich názvy naznačují, jak diskrétní funkce, tak spojité funkce jsou dva speciální typy funkcí.
Funkce je relace mezi dvěma sadami definovanými takovým způsobem, že pro každý prvek v první sadě je hodnota, která jí odpovídá ve druhé sadě, jedinečná. Nechť f je funkce definovaná z množiny A do množiny B. Potom pro každé x ϵ A symbol f (x) označuje jedinečnou hodnotu v množině B, která odpovídá x. Říká se tomu obraz x pod f. Proto je relace f z A do B funkcí, pokud a pouze pokud pro, každé xϵ A a y ϵ A; jestliže x = y, pak f (x) = f (y). Sada A se nazývá doména funkce f a je to sada, ve které je funkce definována.
Zvažte například vztah f z R do R definovaný f (x) = x + 2 pro každé xϵ A. Toto je funkce, jejíž doménou je R, protože pro každé reálné číslo x a y znamená x = y f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Ale vztah g z N na N definovaný g (x) = a, kde 'a' je prvočíslo faktorů x, není funkcí jako g (6) = 3, stejně jako g (6) = 2.
Co je to diskrétní funkce?
Diskrétní funkce je funkce, jejíž doména je nanejvýš spočítatelná. Jednoduše to znamená, že je možné vytvořit seznam, který obsahuje všechny prvky domény.
Jakákoli konečná množina je nanejvýš spočetná. Sada přirozených čísel a sada racionálních čísel jsou příklady pro nejvíce spočítatelné nekonečné množiny. Sada reálných čísel a sada iracionálních čísel nelze nanejvýš spočítat. Obě sady jsou nespočetné. To znamená, že je nemožné vytvořit seznam obsahující všechny prvky těchto sad.
Jednou z nejběžnějších diskrétních funkcí je faktoriální funkce. f: NU {0} → N rekurzivně definované f (n) = nf (n-1) pro každé n ≥ 1 a f (0) = 1 se nazývá faktoriální funkce. Všimněte si, že její doménová jednotka NU {0} je nanejvýš spočítatelná.
Co je spojitá funkce?
Nechť f je funkce taková, že pro každé k v doméně f, f (x) → f (k) jako x → k. Pak f je spojitá funkce. To znamená, že je možné udělat f (x) libovolně blízké f (k) tak, že x dostatečně přiblížíme k pro každé k v doméně f.
Uvažujme funkci f (x) = x + 2 na R. Je vidět, že jako x → k, x + 2 → k + 2 je f (x) → f (k). Proto je f spojitá funkce. Nyní zvažte g na kladných reálných číslech g (x) = 1, pokud x> 0 a g (x) = 0, pokud x = 0. Potom tato funkce není spojitou funkcí, protože limit g (x) neexistuje (a proto se nerovná g (0)) jako x → 0.
Jaký je rozdíl mezi diskrétní a spojitou funkcí?
• Diskrétní funkce je funkce, jejíž doména je maximálně spočitatelná, ale nemusí to tak být u spojitých funkcí.
• Všechny spojité funkce ƒ mají vlastnost, že ƒ (x) → ƒ (k) jako x → k pro každé x a pro každé k v doméně ƒ, ale u některých diskrétních funkcí tomu tak není.
