Lineární vs nelineární diferenciální rovnice
Rovnice obsahující alespoň jeden diferenciální koeficient nebo derivát neznámé proměnné je známá jako diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice může být lineární nebo nelineární. Cílem tohoto článku je vysvětlit, co je lineární diferenciální rovnice, co je nelineární diferenciální rovnice a jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.
Od vývoje počtu v 18. století matematiky jako Newton a Leibnitz hrála v příběhu matematiky důležitá role diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice mají v matematice velký význam z důvodu jejich rozsahu použití. Diferenciální rovnice jsou srdcem každého modelu, který vyvíjíme, abychom vysvětlili jakýkoli scénář nebo událost na světě, ať už ve fyzice, strojírenství, chemii, statistice, finanční analýze nebo biologii (seznam je nekonečný). Ve skutečnosti, dokud se kalkul nestal zavedenou teorií, nebyly k dispozici vhodné matematické nástroje pro analýzu zajímavých problémů v přírodě.
Výsledné rovnice ze specifické aplikace počtu mohou být velmi složité a někdy neřešitelné. Existují však takové, které můžeme vyřešit, ale mohou vypadat podobně a matoucí. Pro snadnější identifikaci jsou proto diferenciální rovnice kategorizovány podle jejich matematického chování. Lineární a nelineární je jedna taková kategorizace. Je důležité identifikovat rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.
Co je lineární diferenciální rovnice?
Předpokládejme, že f: X → Y af (x) = y, diferenciální rovnice bez nelineárních členů neznámé funkce y a jejích derivátů je známá jako lineární diferenciální rovnice.
Ukládá podmínku, že y nemůže mít vyšší indexové výrazy jako y 2, y 3,… a násobky derivátů jako např
Nemůže také obsahovat nelineární výrazy jako Sin y, e y ^ -2 nebo ln y. Má formu,
kde y a g jsou funkce x. Rovnice je diferenciální rovnice řádu n, což je index derivace nejvyššího řádu.
V lineární diferenciální rovnici je diferenciální operátor lineární operátor a řešení tvoří vektorový prostor. V důsledku lineární povahy množiny řešení je lineární kombinace řešení také řešením diferenciální rovnice. To znamená, že pokud y 1 a y 2 jsou řešeními diferenciální rovnice, pak C 1 y 1 + C 2 y 2 je také řešením.
Linearita rovnice je pouze jedním z parametrů klasifikace a lze ji dále rozdělit na homogenní nebo nehomogenní a obyčejné nebo parciální diferenciální rovnice. Pokud je funkce g = 0, pak rovnice je lineární homogenní diferenciální rovnice. Pokud je f funkcí dvou nebo více nezávislých proměnných (f: X, T → Y) af (x, t) = y, pak je rovnice lineární parciální diferenciální rovnice.
Metoda řešení diferenciální rovnice závisí na typu a koeficientech diferenciální rovnice. Nejjednodušší případ nastane, když jsou koeficienty konstantní. Klasickým příkladem pro tento případ je Newtonův druhý zákon pohybu a jeho různé aplikace. Newtonův druhý zákon vytváří lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty.
Co je nelineární diferenciální rovnice?
Rovnice, které obsahují nelineární výrazy, jsou známé jako nelineární diferenciální rovnice.
Všechny výše uvedené jsou nelineární diferenciální rovnice. Nelineární diferenciální rovnice se obtížně řeší, proto je pro získání správného řešení nutná podrobná studie. V případě parciálních diferenciálních rovnic nemá většina rovnic obecné řešení. S každou rovnicí je tedy třeba zacházet samostatně.
Navier-Stokesova rovnice a Eulerova rovnice v dynamice tekutin, Einsteinovy polní rovnice obecné relativity jsou dobře známé nelineární parciální diferenciální rovnice. Někdy může aplikace Lagrangeovy rovnice na proměnný systém vést k systému nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.
Jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi?
• Diferenciální rovnice, která má pouze lineární členy neznámé nebo závislé proměnné a jejích derivátů, se nazývá lineární diferenciální rovnice. Nemá výraz se závislou proměnnou indexu vyšší než 1 a neobsahuje žádný násobek svých derivátů. Nemůže mít nelineární funkce, jako jsou trigonometrické funkce, exponenciální funkce a logaritmické funkce s ohledem na závislou proměnnou. Jakákoli diferenciální rovnice, která obsahuje výše uvedené termíny, je nelineární diferenciální rovnice.
• Řešení lineárních diferenciálních rovnic vytváří vektorový prostor a operátor diferenciálu je také lineárním operátorem ve vektorovém prostoru.
• Řešení lineárních diferenciálních rovnic jsou relativně jednodušší a existují obecná řešení. Pro nelineární rovnice ve většině případů obecné řešení neexistuje a řešení může být specifické pro daný problém. Díky tomu je řešení mnohem obtížnější než lineární rovnice.
