Fourierova série vs Fourierova transformace
Fourierova řada rozkládá periodickou funkci na součet sinusů a kosinů s různými frekvencemi a amplitudami. Fourierova řada je odvětví Fourierovy analýzy a představil ji Joseph Fourier. Fourierova transformace je matematická operace, která přeruší signál na jeho základní frekvence. Původní signál, který se v průběhu času měnil, se nazývá reprezentace signálu v časové doméně. Fourierova transformace se nazývá reprezentace signálu ve frekvenční doméně, protože závisí na frekvenci. Jak reprezentace signálu ve frekvenční doméně, tak proces použitý k transformaci tohoto signálu do frekvenční domény se označují jako Fourierova transformace.
Co je Fourierova řada?
Jak již bylo zmíněno dříve, Fourierova řada je expanzí periodické funkce pomocí nekonečného součtu sinusů a kosinů. Fourierova řada byla původně vyvinuta při řešení tepelných rovnic, ale později bylo zjištěno, že stejnou technikou lze použít k řešení velkého souboru matematických úloh, zejména problémů, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Řada Fourier má nyní aplikace v mnoha oblastech včetně elektrotechniky, vibrační analýzy, akustiky, optiky, zpracování signálu, zpracování obrazu, kvantové mechaniky a ekonometrie. Fourierovy řady používají vztahy ortogonality funkcí sinu a kosinu. Výpočet a studium Fourierových řad je známé jako harmonická analýza a je velmi užitečné při práci s libovolnými periodickými funkcemi,protože umožňuje rozdělit funkci na jednoduché termíny, které lze použít k získání řešení původního problému.
Co je Fourierova transformace?
Fourierova transformace definuje vztah mezi signálem v časové doméně a jeho reprezentací ve frekvenční doméně. Fourierova transformace rozkládá funkci na oscilační funkce. Jelikož se jedná o transformaci, lze původní signál získat ze znalosti transformace, takže v procesu nejsou vytvářeny ani ztraceny žádné informace. Studium Fourierových řad ve skutečnosti poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci. Vzhledem k vlastnostem sinusů a kosinů je možné získat částku každé vlny přispívající k součtu pomocí integrálu. Fourierova transformace má některé základní vlastnosti, jako je linearita, překlad, modulace, změna měřítka, konjugace, dualita a konvoluce. Fourierova transformace se používá při řešení diferenciálních rovnic, protože Fourierova transformace úzce souvisí s Laplaceovou transformací. Fourierova transformace se také používá v nukleární magnetické rezonanci (NMR) a v jiných druzích spektroskopie.
Rozdíl mezi Fourierovou řadou a Fourierovou transformací
Fourierova řada je expanze periodického signálu jako lineární kombinace sinusů a kosinů, zatímco Fourierova transformace je proces nebo funkce používaná k převodu signálů z časové domény do frekvenční domény. Fourierova řada je definována pro periodické signály a Fourierovu transformaci lze aplikovat na neperiodické signály (vyskytující se bez periodicity). Jak bylo uvedeno výše, studium Fourierových řad ve skutečnosti poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci.
