Power Series vs Taylor Series
V matematice je reálná sekvence seřazený seznam reálných čísel. Formálně se jedná o funkci od množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel. Pokud n je n th termín ze sekvence, označíme sekvenci nebo o 1, je 2, …, a n, …. Například, zvažte sekvence 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Lze jej označit jako {1 / n}.
Je možné definovat řadu pomocí sekvencí. Série je součtem podmínek posloupnosti. Proto pro každou sekvenci existuje přidružená sekvence a naopak. Pokud {a n} je sledovaná posloupnost, pak lze sérii tvořenou touto posloupností reprezentovat jako:
Tak ve výše uvedeném příkladu je spojena řada je 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / N + ….
Jak názvy napovídají, výkonová řada je speciální typ řady a je široce používána v numerické analýze a souvisejícím matematickém modelování. Taylorova řada je speciální výkonová řada, která poskytuje alternativní a snadno manipulovatelný způsob reprezentace známých funkcí.
Co je řada Power?
Silová řada je řada formy
který je konvergentní (možná) pro nějaký interval soustředěný na c. Koeficienty a n mohou být reálná nebo komplexní čísla a jsou nezávislé na x; tj. fiktivní proměnná.
Například nastavením a n = 1 pro každé nac = 0 se získá výkonová řada 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Je snadné pozorovat, že když x ε (-1,1), tato výkonová řada konverguje na 1 / (1-x).
Silová řada konverguje, když x = c. Ostatní hodnoty x, pro které konverguje výkonová řada, budou mít vždy formu otevřeného intervalu se středem na c. To znamená, že bude existovat hodnota 0≤ R ≤ ∞ taková, že pro každé x vyhovující | xc | ≤ R je výkonová řada konvergentní a pro každé x vyhovující | xc |> R je výkonová řada divergentní. Tato hodnota R se nazývá poloměr konvergence výkonové řady (R může mít jakoukoli skutečnou hodnotu nebo kladné nekonečno).
Silovou řadu lze sčítat, odečítat, násobit a dělit pomocí následujících pravidel. Zvažte dvě výkonové řady:
Pak,
tj. jako, že se termíny sčítají nebo odečítají dohromady. Je také možné znásobit a rozdělit dvě výkonové řady pomocí identity,
Co je série Taylor?
Taylorova řada je definována pro funkci f (x), která je nekonečně diferencovatelná na intervalu. Předpokládejme, že f (x) je diferencovatelné na intervalu soustředěném na c. Pak mocninová řada, která je dána
se nazývá Taylorovo rozšíření funkce f (x) o c. (Zde f (n) (c) označuje n- tou derivaci při x = c). V numerické analýze se konečný počet členů v této nekonečné expanzi používá při výpočtu hodnot v bodech, kde je řada konvergentní k původní funkci.
O funkci f (x) se říká, že je analytická v intervalu (a, b), pokud pro každé x ε (a, b) konverguje Taylorova řada f (x) k funkci f (x). Například 1 / (1-x) je analytický na (-1,1), protože jeho Taylorova expanze 1 + x + x 2 +….. + x n +… konverguje k funkci v tomto intervalu a e x je analytický všude, protože Taylorova řada e x konverguje k e x pro každé reálné číslo x.
Jaký je rozdíl mezi řadami Power a Taylor?
1. Taylorova řada je speciální třída výkonových řad definovaná pouze pro funkce, které jsou nekonečně diferencovatelné v nějakém otevřeném intervalu.
2. Taylorovy řady mají zvláštní formu
zatímco výkonová řada může být jakákoli řada formy
