Rozdíl Mezi Power Series A Taylor Series

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-09 22:09

Power Series vs Taylor Series

V matematice je reálná sekvence seřazený seznam reálných čísel. Formálně se jedná o funkci od množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel. Pokud _n je n ^th termín ze sekvence, označíme sekvenci nebo o ₁, je ₂, …, a _n, …. Například, zvažte sekvence 1, ½, ⅓, …, ¹ / _n, …. Lze jej označit jako {1 / n}.

Je možné definovat řadu pomocí sekvencí. Série je součtem podmínek posloupnosti. Proto pro každou sekvenci existuje přidružená sekvence a naopak. Pokud {a _n} je sledovaná posloupnost, pak lze sérii tvořenou touto posloupností reprezentovat jako:

Tak ve výše uvedeném příkladu je spojena řada je 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _N + ….

Jak názvy napovídají, výkonová řada je speciální typ řady a je široce používána v numerické analýze a souvisejícím matematickém modelování. Taylorova řada je speciální výkonová řada, která poskytuje alternativní a snadno manipulovatelný způsob reprezentace známých funkcí.

Co je řada Power?

Silová řada je řada formy

který je konvergentní (možná) pro nějaký interval soustředěný na c. Koeficienty a _n mohou být reálná nebo komplexní čísla a jsou nezávislé na x; tj. fiktivní proměnná.

Například nastavením a _n = 1 pro každé nac = 0 se získá výkonová řada 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Je snadné pozorovat, že když x ε (-1,1), tato výkonová řada konverguje na 1 / (1-x).

Silová řada konverguje, když x = c. Ostatní hodnoty x, pro které konverguje výkonová řada, budou mít vždy formu otevřeného intervalu se středem na c. To znamená, že bude existovat hodnota 0≤ R ≤ ∞ taková, že pro každé x vyhovující | xc | ≤ R je výkonová řada konvergentní a pro každé x vyhovující | xc |> R je výkonová řada divergentní. Tato hodnota R se nazývá poloměr konvergence výkonové řady (R může mít jakoukoli skutečnou hodnotu nebo kladné nekonečno).

Silovou řadu lze sčítat, odečítat, násobit a dělit pomocí následujících pravidel. Zvažte dvě výkonové řady:

Pak,

tj. jako, že se termíny sčítají nebo odečítají dohromady. Je také možné znásobit a rozdělit dvě výkonové řady pomocí identity,

Co je série Taylor?

Taylorova řada je definována pro funkci f (x), která je nekonečně diferencovatelná na intervalu. Předpokládejme, že f (x) je diferencovatelné na intervalu soustředěném na c. Pak mocninová řada, která je dána

se nazývá Taylorovo rozšíření funkce f (x) o c. (Zde f ⁽ⁿ⁾ (c) označuje n- ^tou derivaci při x = c). V numerické analýze se konečný počet členů v této nekonečné expanzi používá při výpočtu hodnot v bodech, kde je řada konvergentní k původní funkci.

O funkci f (x) se říká, že je analytická v intervalu (a, b), pokud pro každé x ε (a, b) konverguje Taylorova řada f (x) k funkci f (x). Například 1 / (1-x) je analytický na (-1,1), protože jeho Taylorova expanze 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… konverguje k funkci v tomto intervalu a e ^x je analytický všude, protože Taylorova řada e ^x konverguje k e ^x pro každé reálné číslo x.

Jaký je rozdíl mezi řadami Power a Taylor?

1. Taylorova řada je speciální třída výkonových řad definovaná pouze pro funkce, které jsou nekonečně diferencovatelné v nějakém otevřeném intervalu.

2. Taylorovy řady mají zvláštní formu

zatímco výkonová řada může být jakákoli řada formy