Cardinal vs Ordinal
V našem každodenním životě může mít používání čísel různou podobu v různých situacích. Když například počítáme, abychom zjistili velikost sbírky objektů, počítáme je jako jeden, dva, tři atd. Když chceme něco spočítat, abychom získali pocit polohy objektů, spočítáme je jako první, druhé, třetí atd. V první formě počítání jsou čísla označována jako základní čísla. Ve druhé formě počítání jsou čísla považována za pořadová čísla. V této souvislosti jsou pojmy kardinál a ordinál zcela záležitostí lingvistiky; kardinál a ordinál jsou přídavná jména.
Rozšíření pojmu na množiny v matematice však odhaluje mnohem hlubší a širší perspektivu a nelze s ní zacházet jednoduše. V tomto článku se pokusíme porozumět základním pojmům kardinálních a ordinálních čísel v matematice.
Formální definice základních a řadových čísel jsou uvedeny v teorii množin. Definice jsou složité a jejich pochopení v dokonalém smyslu vyžaduje základní znalosti v teorii množin. Proto se obrátíme k několika příkladům, abychom pochopili pojmy heuristicky.
Zvažte dvě sady {1,3,6,4,5,2} a {autobus, auto, trajekt, vlak, letadlo, vrtulník}. Každá sada obsahuje seznam prvků, a pokud spočítáme počet prvků, je zřejmé, že každý má stejný počet prvků, což je 6. K tomuto závěru jsme dospěli k velikosti jedné sady a porovnání s jinou pomocí a číslo. Takové číslo se nazývá základní číslo. Proto můžeme říci, že základní číslo je číslo, které můžeme použít k porovnání velikosti konečných množin.
První sadu čísel lze opět uspořádat vzestupně s ohledem na velikost každého prvku a jejich porovnání. Při objednávání jsou čísla považována za kardinály. Podobně lze sadu všech nezáporných celých čísel objednat v sadě; tj. {0,1,2,3,4, …..}. Ale v tomto případě se velikost množiny stává nekonečnou a její udání pomocí ordinálů není možné. Bez ohledu na to, jak velké číslo vyberete, abyste získali velikost sady, stále zůstanou čísla ze sady, která vyberete a která jsou nezáporná celá čísla.
Proto matematici definují tohoto nekonečného kardinála (což je první) jako Aleph-0, napsaného jako א (první písmeno v hebrejské abecedě). Pořadové číslo je formálně typ objednávky dobře seřazené množiny. Pořadové číslo konečných množin tedy může být dáno kardinálními čísly, ale pro nekonečné množiny je pořadové číslo dáno transfinitními čísly, jako je Aleph-0.
Jaký je rozdíl mezi kardinálem a řadovými čísly?
• Kardinální číslo je číslo, které lze použít k spočítání nebo k určení velikosti konečné uspořádané množiny. Všechna základní čísla jsou řadová čísla.
• Pořadová čísla jsou čísla používaná k určení velikosti konečných i nekonečných uspořádaných množin. Velikost konečných uspořádaných množin je dána obvyklými hindsko-arabskými algebraickými číslicemi a velikost nekonečné množiny je dána transfinitními čísly.
